Олимпиадные задачи из источника «2. Делимость»

Найти натуральное наименьшее целое число n такое, что n делится на 19, а n+2 делится на 82.

Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.

Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.

Доказать, что число  <i>n</i>⁵ – 5<i>n</i>³ + 4<i>n</i>  делится на 120 при любом натуральном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>³ + 2<i>n</i>  делится на 3 для любого натурального <i>n</i>.

Целые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что  56<i>a</i> = 65<i>b</i>.  Докажите, что &nbsp <i>a + b</i>  – составное число.

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Пусть <i>p</i> и <i>q</i> – различные простые числа. Сколько делителей у числа

  а)  <i>pq</i>;

  б)  <i>p</i>²<i>q</i>;

  в)  <i>p</i>²<i>q</i>²;

  г)  <i>p^mqⁿ</i>?