Олимпиадные задачи из источника «Занятие 20. Разные задачи» для 8-10 класса - сложность 2-5 с решениями

При каких значениях <i>a</i> и <i>b</i> выражение  <i>p</i> = 2<i>a</i>² − 8<i>ab</i> + 17<i>b</i>² − 16<i>a</i> − 4<i>b</i> + 2044  принимает наименьшее значение? Чему равно это значение?

Двое пишут 2<i>k</i>-значное число, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй. Третью снова первый и т.д. Может ли первый добиться того, чтобы полученное число делилось на 9, если второй хочет этому помешать? Рассмотреть случаи:   а)  <i>k</i> = 10;   б)  <i>k</i> = 15.

Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 0,51. Доказать, что найдется прямая, которая параллельна одной из сторон квадрата и пересекает, по крайней мере, 2 круга.

Доказать, что каждое из чисел последовательности 11, 111, 1111, ... не является квадратом натурального числа.