Олимпиадные задачи из источника «выпуск 2» для 10 класса

Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия

  а) из 11,

  б) из 10000,

  в) из бесконечного числа натуральных чисел,

такая что последовательность сумм цифр её членов – также возрастающая арифметическая прогрессия?

Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.

Дано <i>n</i> чисел, <i>p</i> – их произведение. Разность между <i>p</i> и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные <i>n</i> чисел иррациональны.

Есть доска 1×1000, вначале пустая, и куча из <i>n</i> фишек. Двое ходят по очереди. Первый своим ходом "выставляет" на доску не более 17 фишек по одной на любое свободное поле (он может взять все 17 из кучи, а может часть – из кучи, а часть – переставить на доске). Второй снимает с доски любую <i>серию</i> фишек (серия – это несколько фишек, стоящих подряд, то есть без свободных полей между ними) и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все фишки в ряд без пробелов.

  а) Докажите, что при  <i>n</i> = 98  первый всегда может выиграть.

  б) При каком наибольшем <i>n</i> первый всегда может выиграть?