Олимпиадные задачи из источника «1995 год» для 5-8 класса - сложность 3 с решениями
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.
Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
а) достаточно четырёх взвешиваний и
б) недостаточно трёх.
а) Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c</i>, что из двух чисел <sup><i>a</i></sup>/<i><sub>b</sub> + <sup>b</sup></i>/<i><sub>c</sub> + <sup>c</sup></i>/<sub><i>a</i></sub> и <sup><i>b</i></sup>/<i><sub>a</sub> + <sup>c</sup></i>/<i><sub>b</sub> + <sup>a</sup></i>/<sub><i>c</i></sub> ровно одно – целое? б) Докажите, что если они оба целые, то <i>a = b = c</i>.
Прямая отрезает от правильного <i>n</i>-угольника со стороной 1 треугольник <i>APQ</i> так, что <i>AP + AQ</i> = 1 (<i>A</i> – вершина <i>n</i>-угольника).
Найдите сумму углов, под которыми отрезок <i>PQ</i> виден из всех вершин <i>n</i>-угольника, кроме <i>A</i>.