Олимпиадные задачи из источника «1986 год» для 10 класса
В треугольнике <i>ABC</i> проведены высота <i>AH</i> и биссектриса <i>BE</i>. Известно, что угол <i>BEA</i> равен 45°. Докажите, что угол <i>EHC</i> равен 45°.
Последовательность чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ... такова, что <i>x</i><sub>1</sub> = ½ и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97884/problem_97884_img_2.gif"> для всякого натурального <i>k</i>.
Найдите целую часть суммы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97884/problem_97884_img_3.gif">
В турнире участвуют 2<i>m</i> команд. В первом туре встретились некоторые <i>m</i> пар команд, во втором – другие <i>m</i> пар.
Докажите, что после этого можно выбрать <i>m</i> команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.