Олимпиадные задачи из источника «1983 год» для 8 класса - сложность 2-5 с решениями
В Швамбрании <i>N</i> городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение <i>N</i>! способами.
Натуральные числа <i>M</i> и <i>K</i> отличаются перестановкой цифр.
Доказать, что
а) сумма цифр числа 2<i>M</i> равна сумме цифр числа 2<i>K</i>;
б) сумма цифр числа <sup><i>M</i></sup>/<sub>2</sub> равна сумме цифр числа <sup><i>K</i></sup>/<sub>2</sub> (если <i>M</i> и <i>K</i> чётны);
в) сумма цифр числа 5<i>M</i> равна сумме цифр числа 5<i>K</i>.
Правильный 4<i>k</i>-угольник разрезан на параллелограммы. Доказать, что среди них не менее <i>k</i> прямоугольников. Найти их общую площадь, если длина стороны 4<i>k</i>-угольника равна <i>a</i>.
Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам<i>x</i>и<i>y</i>он вычисляет<i>x</i>+<i>y</i>,<i>x</i>−<i>y</i>и${\frac{1}{x}}$(при<i>x</i>≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).
Из произвольной точки <i>M</i> внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры <i>MK</i><sub>1</sub>, <i>MK</i><sub>2</sub>, <i>MK</i><sub>3</sub> на его стороны. Докажите, что <!-- MATH \begin{displaymath} \overrightarrow{MK_{1}} + \overrightarrow{MK_{2}} + \overrightarrow{MK_{3}} = \frac{3}{2}\cdot \overrightarrow{MO}, \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> $\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$<sup> . </sup>$\displaystyle \overrightarrow{MO}$, </div>где<i>O</i>— центр треугольника.