Олимпиадные задачи из источника «1973 год» для 9-11 класса - сложность 5 с решениями

По заданному ненулевому<i>x</i>значение<i>x</i>⁸можно найти за три арифметических действия:<nobr><i>x</i>² = <i>x</i> · <i>x</i>,</nobr><nobr><i>x</i>⁴ = <i>x</i>² · <i>x</i>²,</nobr><nobr><i>x</i>⁸ = <i>x</i>⁴ · <i>x</i>⁴,</nobr>а<nobr><i>x</i>¹⁵ —</nobr>за пять действий: первые<nobr>три —</nobr>те же самые, затем<nobr><i>x</i>⁸ · <i>x<...

Дан квадрат со<nobr>стороной 1.</nobr>От него отсекают четыре<nobr>уголка —</nobr>четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

На бесконечном клетчатом листе белой бумаги<i>n</i>клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени<nobr><i>t</i> = 1,</nobr>2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка<i>k</i>приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки<i>k</i>и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то<i>k</i>становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени <nobr><i>t</i> = <i>n</i>.</nobr>