Олимпиадные задачи из источника «выпуск 4» для 8 класса

В прямоугольную таблицу из <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов записаны <i>mn</i> положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все <i>n</i> таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для

  а)  <i>m = n</i> = 2;

  б)  <i>m</i> = 2  и произвольного <i>n</i>;

  в) любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i>.

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более <i>k</i>хорд, то сумма длин хорд меньше$\pi$<i>k</i>.