Олимпиадные задачи из источника «выпуск 4» для 3-9 класса - сложность 2-4 с решениями

а) Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73734/problem_73734_img_2.gif">   (сумма берётся по всем целым <i>i</i>, 0 ≤ <i>i ≤ ⁿ</i>/₂). б) Докажите, что если <i>p</i> и <i>q</i> – различные числа и  <i>p + q</i> = 1,  то <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73734/problem_73734_img_3.gif"></div>

В прямоугольную таблицу из <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов записаны <i>mn</i> положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все <i>n</i> таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для

  а)  <i>m = n</i> = 2;

  б)  <i>m</i> = 2  и произвольного <i>n</i>;

  в) любых натуральных <i>m</i> и <i>n</i>.

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более <i>k</i>хорд, то сумма длин хорд меньше$\pi$<i>k</i>.