Олимпиадные задачи из источника «выпуск 9» для 10 класса

а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.

б) Из любых  2<i>n</i> – 1  целых чисел можно выбрать <i>n</i>, сумма которых делится на <i>n</i>. Докажите это.

Для любого натурального<nobr>числа <i>K</i></nobr>существует бесконечно много натуральных<nobr>чисел <i>Т</i>,</nobr>не содержащих в десятичной записи нулей и таких, что сумма цифр<nobr>числа <i>KТ</i></nobr>равна сумме цифр<nobr>числа <i>Т</i>.</nobr>Докажите это.