Олимпиадные задачи из источника «выпуск 5» для 8-10 класса - сложность 2 с решениями

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.

Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Окружность касается стороны <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> в точке <i>M</i>, а продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> — в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i>, а стороны <i>AB</i> — в точке <i>L</i>. Докажите, что:

а) отрезок <i>AP</i> равен полупериметру <i>p</i> треугольника <i>ABC</i>;

б) <i>BM</i> = <i>CK</i>;

в) <i>BC</i> = <i>PL</i>.