Олимпиадные задачи из источника «выпуск 5» для 2-9 класса - сложность 3 с решениями

В множестве, состоящем из <i>n</i> элементов, выбрано 2^<i>n</i>–1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент.

Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

Для любого натурального числа <i>n</i>, большего единицы, квадрат отношения произведения первых <i>n</i> нечётных чисел к произведению первых <i>n</i> чётных чисел больше числа ¹/_4<i>n</i>, но меньше числа ³/_8<i>n</i>. Докажите это.

В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂, а другая — в точках <i>L</i>₁ и <i>L</i>₂. Докажите, что прямая <!-- MATH $K_{1}L_{2}$ --> <i>K</i>₁<i>L</i>₂ высекает на этих двух окружностях равные хорды.