Олимпиадные задачи из источника «выпуск 11» для 8 класса - сложность 2-5 с решениями

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше<nobr><i>n</i> цифр,</nobr>разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во<nobr>второе —</nobr>c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа<nobr><i>k</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i></nobr>сумма<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел первого множества равна сумме<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел второго множества.

<div class="catalogueproblemauthor">Автор: Г.А.Гальперин</div><img src="/storage/problem-media/73589/problem_73589_img_2.gif" width="260" height="181" vspace="10" hspace="20" align="right">Два одинаковых прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь пересечения этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.

Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел строго больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите это.

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

В треугольнике <i>ABC</i> через середину <i>M</i> стороны <i>BC</i> и центр <i>O</i> вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая <i>MO</i>, которая пересекает высоту <i>AH</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что отрезок <i>AE</i> равен радиусу вписанной окружности.