Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Разные задачи на неравенство треугольника» - сложность 3 с решениями
параграф 4. Разные задачи на неравенство треугольника
НазадНа основании <i>AD</i>трапеции <i>ABCD</i>нашлась точка <i>E</i>, обладающая тем свойством, что периметры треугольников <i>ABE</i>,<i>BCE</i>и <i>CDE</i>равны. Докажите, что тогда <i>BC</i>=<i>AD</i>/2.
Внутри треугольника <i>ABC</i>периметра <i>P</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что <i>P</i>/2 <<i>AO</i>+<i>BO</i>+<i>CO</i><<i>P</i>.
а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.) б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.
Точки <i>C</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>взяты на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>треугольника <i>ABC</i>так, что <i>BA</i><sub>1</sub>=$\lambda$<sup> . </sup><i>BC</i>,<i>CB</i><sub>1</sub>=$\lambda$<sup> . </sup><i>CA</i>,<i>AC</i><sub>1</sub>=$\lambda$<sup> . </sup><i>AB</i>, причем 1/2 <$\lambda$< 1. Докажите, что периметр <i>P</i>треугольника <i>ABC</i>и периметр <i>P</i><sub>1</sub>треугольника <i>A</i><sub>1</sub>&...