Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Площади частей, на которые разбит четырехугольник» для 7-10 класса - сложность 4-5 с решениями

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

Точки <i>K</i>и <i>M</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, точки <i>L</i>и <i>N</i>расположены на сторонах <i>BC</i>и <i>AD</i>так, что <i>KLMN</i> — прямоугольник. Докажите, что площадь четырехугольника <i>ABCD</i>вдвое больше площади прямоугольника <i>KLMN</i>.

На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна стороне параллелограмма.