Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Рациональная параметризация» для 8-10 класса - сложность 1-2 с решениями

Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

Пусть$\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$${\frac{P(t)}{A(t)}}$,${\frac{Q(t)}{A(t)}}$$\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$— рациональная параметризация коники, построенная при решении задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158538">31.071</a>. Докажите, что степень каждого из многочленов<i>A</i>,<i>P</i>,<i>Q</i>не превосходит 2.

Постройте рациональную параметризацию окружности<i>x</i>²+<i>y</i>²= 1, проведя прямые через точку (1, 0).

Докажите, что для любой коники можно выбрать многочлены<i>A</i>(<i>t</i>),<i>P</i>(<i>t</i>) и<i>Q</i>(<i>t</i>) так, что при изменении<i>t</i>от -$\infty$до +$\infty$точки$\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$${\frac{P(t)}{A(t)}}$,${\frac{Q(t)}{A(t)}}$$\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$заметают всю данную конику, кроме, быть может, одной точки.