Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Две касательные, проведенные из одной точки» - сложность 4 с решениями

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем центр <i>O</i>окружности <i>S</i>₁лежит на <i>S</i>₂. Прямая, проходящая через точку <i>O</i>, пересекает отрезок <i>AB</i>в точке <i>P</i>, а окружность <i>S</i>₂в точке <i>C</i>. Докажите, что точка <i>P</i>лежит на поляре точки <i>C</i>относительно окружности <i>S</i>₁.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность, причем касательные в точках <i>B</i>и <i>D</i>пересекаются в точке <i>K</i>, лежащей на прямой <i>AC</i>. а) Докажите, что <i>AB</i>^.<i>CD</i>=<i>BC</i>^.<i>AD</i>. б) Прямая, параллельная <i>KB</i>, пересекает прямые <i>BA</i>,<i>BD</i>и <i>BC</i>в точках <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>R</i>. Докажите, что <i>PQ</i>=<i>QR</i>.

Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках <i>D</i>и <i>E</i>; <i>M</i> — середина отрезка <i>BC</i>. Докажите, что <i>BM</i>²=<i>DM</i>^.<i>ME</i>и угол <i>DME</i>в два раза больше угла <i>DBE</i>или угла <i>DCE</i>; кроме того, $\angle$<i>BEM</i>=$\angle$<i>DEC</i>.