Олимпиадные задачи из источника «глава 29. Аффинные преобразования» для 11 класса

а) Докажите, что если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i> — произвольные точки плоскости, то<i>AB</i>^.<i>CD</i>+<i>BC</i>^.<i>AD</i>$\ge$<i>AC</i>^.<i>BD</i>(<i>неравенство Птолемея</i>). б) Докажите, что если<i>A</i>₁,<i>A</i>₂, ...<i>A</i>₆ — произвольные точки плоскости, то<div align="CENTER"><!-- MATH \begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A_5+A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6+{}\\vspace{1\relax } +A_2A_3\cdot A_1A_4\cdot A_5...

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число${\frac{a-b}{a-c}}$, называемое<i>простым отношением</i>трех комплексных чисел, вещественно. б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число${\frac{a-c}{a-d}}$:${\frac{b-c}{b-d}}$, называемое<i>двойным отношением</i>четырех комплексных чисел, вещественно.