Олимпиадные задачи из источника «глава 27. Индукция и комбинаторика» для 4-10 класса - сложность 1-2 с решениями

На окружности даны точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

На окружности отмечено десять точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся девятизвенных ломаных с вершинами в этих точках?

Докажите, что в выпуклом <i>n</i>-угольнике нельзя выбрать больше <i>n</i> диагоналей так, чтобы каждые две из них имели общую точку.

Докажите, что если плоскость разбита на части прямыми и окружностями, то получившуюся карту можно раскрасить в два цвета так, что части, граничащие по дуге или отрезку, будут разного цвета.

Известно, что в выпуклом <i>n</i>-угольнике  (<i>n</i> > 3)  никакие три диагонали не проходят через одну точку.

Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.