Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Комбинаторика» для 6-9 класса

На окружности даны точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

На сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?

Докажите, что число неравных треугольников с вершинами в вершинах правильного<i>n</i>-угольника равно ближайшему к  ^<i>n</i>²/₁₂  целому числу.

На плоскости дано  <i>n</i> > 4  точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Докажите, что существует не менее  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/58316/problem_58316_img_2.gif">  различных выпуклых четырёхугольников с вершинами в этих точках.

На окружности отмечено десять точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся девятизвенных ломаных с вершинами в этих точках?

Известно, что в выпуклом <i>n</i>-угольнике  (<i>n</i> > 3)  никакие три диагонали не проходят через одну точку.

Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.