Олимпиадные задачи из источника «глава 21. Принцип Дирихле» для 1-7 класса - сложность 3-5 с решениями

Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого<i>n</i>-угольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах<i>n</i>-угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?

В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)

На плоскости дано 25 точек, причем среди любых трех из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.

На шахматной доске 8×8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми, не проходящими через эти центры, разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?

В прямоугольнике 3×4 расположено 6 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превосходит $\sqrt{5}$.