Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Площадь» - сложность 3-4 с решениями
параграф 3. Площадь
НазадВ прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше <sup>3</sup>/<sub>20</sub>;
б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше <sup>1</sup>/<sub>20</sub>.
На плоскости дано <i>n</i> фигур. Пусть <i>S</i><sub><i>i</i><sub>1</sub>...<i>i<sub>k</sub></i></sub> – площадь пересечения фигур с номерами <i>i</i><sub>1</sub>, ..., <i>i<sub>k</sub></i>, a <i>S</i> – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; <i>M<sub>k</sub></i> – сумма всех чисел <i>S</i><sub><i>i</i><sub>1</sub>...<i>i<sub>k</sub></i></sub>. Докажите, что:
а) <i>S</i> = <i>M</i><sub>1</sub> – <i>M</i><sub>2</sub> + <i>M</i><sub>3</sub> – ... + (–1)&l...
Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58103/problem_58103_img_2.gif" border="1"></div>
Дана бесконечная клетчатая бумага и фигура, площадь которой меньше площади клетки. Докажите, что эту фигуру можно положить на бумагу, не накрыв ни одной вершины клетки.
В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.