Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Площадь» для 4-9 класса - сложность 3-5 с решениями

На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна<i>p</i>. Обозначим эту систему отрезков<i>A</i>. Пусть<i>B</i> — дополнительная система отрезков (отрезки систем<i>A</i>и<i>B</i>не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос<i>T</i>, для которого пересечение<i>B</i>и<i>T</i>(<i>A</i>) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше<i>p</i>(1 -<i>p</i>)/2.

На плоскости дано <i>n</i> фигур. Пусть <i>S</i>_{<i>i</i>₁...<i>i_k</i>} – площадь пересечения фигур с номерами <i>i</i>₁, ..., <i>i_k</i>, a <i>S</i> – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; <i>M_k</i> – сумма всех чисел <i>S</i>_{<i>i</i>₁...<i>i_k</i>}. Докажите, что:

  а)  <i>S</i> = <i>M</i>₁ – <i>M</i>₂ + <i>M</i>₃ – ... + (–1)&l...

В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдется кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежит не менее 10 из данных точек.

Попарные расстояния между точками<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nбольше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше$\pi$, можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точек<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_n.

Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/58103/problem_58103_img_2.gif" border="1"></div>

Дана бесконечная клетчатая бумага и фигура, площадь которой меньше площади клетки. Докажите, что эту фигуру можно положить на бумагу, не накрыв ни одной вершины клетки.

В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.