Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Три описанные окружности пересекаются в одной точке» для 9-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>X</i>. Прямые<i>AX</i>,<i>BX</i>и<i>CX</i>пересекают стороны треугольника в точках<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников<i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>пересекаются в точке<i>X</i>, то<i>X</i> — точка пересечения высот треугольника<i>ABC</i>.

Точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁движутся по прямым<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>так, что все треугольники<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек<i>A</i>₁,<i&...

а) На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>(или на их продолжениях) взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>пересекаются в одной точке. б) Точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C&...

На сторонах треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены треугольники <i>ABC'</i>,<i>AB'C</i>и <i>A'BC</i>, причем сумма углов при вершинах <i>A'</i>,<i>B'</i>и <i>C'</i>кратна 180^<tt>o</tt>. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.