Олимпиадные задачи из источника «параграф 11. Разные задачи» для 2-11 класса - сложность 2-4 с решениями

Окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>, причем касательные к <i>S</i>₁в этих точках являются радиусами <i>S</i>₂. На внутренней дуге <i>S</i>₁взята точка <i>C</i>и соединена с точками <i>A</i>и <i>B</i>прямыми. Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с <i>S</i>₂являются концами одного диаметра.

На сторонах <i>AC</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены квадраты <i>ACA</i>₁<i>A</i>₂и <i>BCB</i>₁<i>B</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>B</i>,<i>A</i>₂<i>B</i>₂и <i>AB</i>₁пересекаются в одной точке.

а) Из точки <i>A</i>проведены прямые, касающиеся окружности <i>S</i>в точках <i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>, лежат на окружности <i>S</i>. б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины <i>B</i>и <i>C</i>любого треугольника <i>ABC</i>и центр <i>O</i>его вписанной окружности, высекает на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равные хорды.

Через вершины <i>A</i>и <i>B</i>треугольника <i>ABC</i>проведены две параллельные прямые, а прямые<i>m</i> и <i>n</i>симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых<i>m</i> и <i>n</i>лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, а <i>AA'</i> — диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок <i>A'H</i>делит сторону <i>BC</i>пополам.