Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Повороты на произвольные углы» для 9 класса - сложность 3 с решениями

Треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁получен из треугольника<i>ABC</i>поворотом на угол $\alpha$($\alpha$< 180^<tt>o</tt>) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон<i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁,<i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>CA</i>и <i>C</i>₁<i>A</i>₁(или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику<i>ABC</i>.

Для данного треугольника<i>ABC</i>, один из углов которого больше120^<tt>o</tt>, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

По двум прямым, пересекающимся в точке <i>P</i>, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой — точка <i>A</i>, по другой — точка <i>B</i>. Через точку <i>P</i>они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника<i>ABP</i>проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от <i>P</i>.

На плоскости лежат две одинаковые буквы $\Gamma$. Концы коротких палочек этих букв обозначим <i>A</i>и <i>A'</i>. Длинные палочки разбиты на <i>n</i>равных частей точками<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_{n - 1};<i>A</i>₁',...,<i>A</i>_{n - 1}' (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые<i>AA</i>_iи <i>A'A</i>_i' пересекаются в точке <i>X</i>_i. Докажите, что точки<i>X</i>₁,...,<i>X</i>_{n - 1}образуют выпуклый многоугольник....