Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Перенос помогает решить задачу» для 3-11 класса - сложность 3-4 с решениями

Внутри каждой стороны параллелограмма выбрано по точке. Выбранные точки сторон, имеющих общую вершину, соединены. Докажите, что центры описанных окружностей четырех получившихся треугольников являются вершинами некоторого параллелограмма.

В трапеции<i>ABCD</i>стороны<i>BC</i>и <i>AD</i>параллельны,<i>M</i> — точка пересечения биссектрис углов <i>A</i>и <i>B</i>,<i>N</i> — точка пересечения биссектрис углов <i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что2<i>MN</i>= |<i>AB</i>+<i>CD</i>-<i>BC</i>-<i>AD</i>|.

Пусть <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>. а) Докажите, что<i>KM</i>$\le$(<i>BC</i>+<i>AD</i>)/2, причем равенство достигается, только если<i>BC</i>|<i>AD</i>. б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника<i>ABCD</i>найдите максимальные значения длин отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>.

В каком месте следует построить мост <i>MN</i> через реку, разделяющую две данные деревни <i>A</i> и <i>B</i>, чтобы путь <i>AMNB</i> из деревни <i>A</i> в деревню <i>B</i> был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).

Из вершины <i>B</i> параллелограмма <i>ABCD</i> проведены его высоты <i>BK</i> и <i>BH</i>. Известны отрезки <i>KH</i> = <i>a</i> и <i>BD</i> = <i>b</i>. Найдите расстояние от точки <i>B</i> до точки пересечения высот треугольника <i>BKH</i>.