Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Окружности» для 3-11 класса - сложность 3 с решениями

В окружность вписан квадрат, а в сегмент, отсеченный от круга из сторон этого квадрата, вписан другой квадрат. Найдите отношение длин сторон этих квадратов.

Хорда окружности удалена от центра на расстояние <i>h</i>. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие — на хорде или ее продолжении (рис.). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57646/problem_57646_img_2.gif" border="1"></div>

Пусть <i>E</i> — середина стороны <i>AB</i>квадрата <i>ABCD</i>, а точки <i>F</i>и <i>G</i>выбраны на сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>так, что <i>AG</i>|<i>EF</i>. Докажите, что отрезок <i>FG</i>касается окружности, вписанной в квадрат <i>ABCD</i>.