Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Неравенства для углов треугольника» - сложность 2-4 с решениями

Из медиан треугольника с углами $\alpha$,$\beta$и $\gamma$составлен треугольник с углами $\alpha_{m}^{}$,$\beta_{m}^{}$и $\gamma_{m}^{}$(угол $\alpha_{m}^{}$лежит против медианы <i>AA</i>₁и т. д.) Докажите, что если $\alpha$>$\beta$>$\gamma$, то $\alpha$>$\alpha_{m}^{}$,$\alpha$>$\beta_{m}^{}$,$\gamma_{m}^{}$>$\beta$>$\alpha_{m}^{}$,$\beta_{m}^{}$>$\gamma$и $\gamma_{m}^{}$>$\gamma$.

Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁остроугольный.

На медиане <i>BM</i>треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>X</i>. Докажите, что если <i>AB</i><<i>BC</i>, то $\angle$<i>XAB</i>>$\angle$<i>XCB</i>.

Докажите, что cos 2$\alpha$+ cos 2$\beta$- cos 2$\gamma$$\leq$3/2.

Пусть $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ — углы остроугольного треугольника. Докажите, что если $\alpha$<$\beta$<$\gamma$, то sin 2$\alpha$> sin 2$\beta$> sin 2$\gamma$.

Докажите, что если <i>a</i>+<i>b</i>< 3<i>c</i>, то <i>tg</i>($\alpha$/2)<i>tg</i>($\beta$/2) < 1/2.

Докажите, чтоsin($\gamma$/2)$\leq$<i>c</i>/(<i>a</i>+<i>b</i>).

Докажите, что1 - sin($\alpha$/2)$\geq$2 sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2).