Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Медианы» для 1-11 класса - сложность 1-3 с решениями

а) Докажите, что если <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон произвольного треугольника, то <i>a</i>²+<i>b</i>²$\geq$<i>c</i>²/2. б) Докажите, что <i>m</i>_a²+<i>m</i>_b²$\geq$9<i>c</i>²/8.

Периметры треугольников <i>ABM</i>,<i>BCM</i>и <i>ACM</i>, где <i>M</i> — точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>, равны. Докажите, что треугольник <i>ABC</i>правильный.

Медианы <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что если четырехугольник <i>A</i>₁<i>MB</i>₁<i>C</i>описанный, то <i>AC</i>=<i>BC</i>.

Докажите, что если <i>a</i> > <i>b</i>, то <i>m</i>_a<<i>m</i>_b.