Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Графы» для 7 класса
глава 5. Графы
НазадУ Царя Гвидона было 5 сыновей. Среди его потомков 100 имели каждый ровно по 3 сына, а остальные умерли бездетными.
Сколько потомков было у царя Гвидона?
Доказать, что в двудольном плоском графе <i>E</i> ≥ 2<i>F</i>, если <i>E</i> ≥ 2 (<i>E</i> – число рёбер, <i>F</i> – число областей).
а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?
Есть волейбольная сетка 5×10. Какое максимальное число веревок, её составляющих, можно разрезать так, чтобы она не распалась?
Доказать, что
а) из связного графа можно выкинуть несколько рёбер так, чтобы осталось дерево;
б) в дереве с <i>n</i> вершинами ровно <i>n</i> – 1 ребро;
в) в дереве не меньше двух висячих вершин;
г) в связном графа из <i>n</i> вершин не меньше <i>n</i> – 1 ребра;
д) если в связном графе <i>n</i> вершин и <i>n</i> – 1 ребро, то он – дерево.
а) Из какого минимального числа кусков проволоки можно спаять каркас куба?
б) Какой максимальной длины кусок проволоки можно вырезать из этого каркаса? (Длина ребра куба равна 1 см.)
Доказать, что связный граф можно обойти, проходя по каждому ребру дважды.
а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух.
б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.
Существует ли ломаная, пересекающая все рёбра картинки по одному разу? <div align="center"><img width="68" height="26" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/31093/problem_31093_img_2.gif"></div>
Можно ли начертить, не отрывая карандаша от бумаги (одним росчерком)
а) квадрат с диагоналями?
б) шестиугольник со всеми диагоналями?
В графе 20 вершин, степень каждой не меньше 10. Доказать, что в нём есть гамильтонов путь.
В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что можно проехать по всем городам, побывав в каждом по одному разу (то есть что в полном ориентированном графе есть <i>гамильтонов путь</i>).
В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением.
Доказать, что существует город, из которого можно проехать в любой другой не более чем по двум дорогам.
Грани некоторого многогранника раскрашены в два цвета так, что соседние грани имеют разные цвета. Известно, что все грани, кроме одной, имеют число рёбер, кратное 3. Доказать, что и эта одна грань имеет кратное 3 число рёбер.
В ориентированном графе 101 вершина. У каждой вершины число входящих и число выходящих рёбер равно 40. Доказать, что из каждой вершины можно попасть в любую другую, пройдя не более чем по трём ребрам.
В классе больше 32, но меньше 40 человек. Каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками.
Сколько человек в классе?
Доказать, что число штатов США с нечётным числом соседей чётно.
В графе из каждой вершины выходит по три ребра. Может ли в нём быть 1990 рёбер?
Есть 20 карточек, у каждой из которых на двух сторонах написано по числу. При этом все числа от 1 до 20 написаны по два раза.
Доказать, что карточки можно разложить так, чтобы все числа сверху были различны.
В графе 100 вершин, причём степень каждой из них не меньше 50. Доказать, что граф связен.
В графе каждая вершина – синяя или зелёная. При этом каждая синяя вершина связана с пятью синими и десятью зелёными, а каждая зелёная – с девятью синими и шестью зелёными. Каких вершин больше – синих или зелёных?
Могут ли степени вершин в графе быть равны:
а) 8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2?
б) 7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1?
в) 6, 6, 6, 5, 5, 3, 2, 2?
На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседей?
Из полного 100-вершинного графа выкинули 98 рёбер. Доказать, что он остался связным.
В некоторой стране из столицы выходит 89 дорог, из города Дальний – одна дорога, из остальных 1988 городов – по 20 дорог.
Доказать, что из столицы можно проехать в Дальний.