Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Делимость-2» для 8 класса - сложность 3 с решениями
глава 10. Делимость-2
НазадНайти все пары целых чисел (<i>x, y</i>), удовлетворяющие уравнению 3·2<sup><i>x</i></sup> + 1 = <i>y</i>².
Решите уравнение <i>x</i>² – 5<i>y</i>² = 1 в целых числах.
Докажите, что все числа ряда<img width="266" height="29" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30647/problem_30647_img_2.gif">являются составными.
К числу справа приписывают тройки. Докажите, что когда-нибудь получится составное число.
Найдите все трехзначные числа, каждая натуральная степень которых оканчивается на три цифры, составляющие первоначальное число.
а) Дано шестизначное число <span style="text-decoration: overline;"><i>abcdef</i></span>, причём <span style="text-decoration: overline;"><i>abc</i></span> – <span style="text-decoration: overline;"><i>def</i></span> делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 7.
в) Сформулируйте и докажите признак делимости на 13.
Пусть <i>A</i> – сумма цифр числа 4444<sup>4444</sup>, а <i>B</i> – сумма цифр числа <i>A</i>. Найдите сумму цифр числа <i>B</i>.
Последовательность <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... натуральных чисел такова, что <i>a</i><sub><i>n</i>+2</sub> = <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub><i>a<sub>n</sub></i> + 1 при всех <i>n</i>.
а) <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i><sub>2</sub> = 1. Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.
б) Докажите, что <i>a<sub>n</sub></i> – 22 – составное число при любом <i>n</i> > 10.
Докажите, что ни одно из чисел вида 10<sup>3<i>n</i>+1</sup> нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.