Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Уравнения и системы» для 1-8 класса - сложность 3-5 с решениями
Решите системы уравнений: а) <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> = 0,
<i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> = 0,
  ...
<i>x</i><sub>99</sub> + <i>x</i><sub>100</sub> + <i>x</i><sub>1</sub> = 0,
<i>x</i><sub>100</sub> + <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> = 0; б) <i>x + y + z = a</i>,
<i>y + z + t = b</i>,
<i>y + z + t = c</i>,
<...
Зафиксируем числа<i>a</i><sub>0</sub>и<i>a</i><sub>1</sub>. Построим последовательность {<i>a</i><sub>n</sub>} в которой<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Выразите<i>a</i><sub>n</sub>через<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>и<i>n</i>.
Пусть<i>a</i>и<i>k</i>> 0 произвольные числа. Определим последовательность {<i>a</i><sub>n</sub>} равенствами<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>0</sub> = <i>a</i>, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$<i>a</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что при любом неотрицательном<i>n</i>выполняется равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displa...
Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет${\frac{2}{3}}$л и${\frac{1}{3}}$л с точностью до 1 миллилитра.