Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Тригонометрические замены» - сложность 3 с решениями

Решите уравнение:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1+2x\sqrt{1-x^2}}{2}}$ + 2<i>x</i>² = 1. </div>

Решите систему:

  <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61294/problem_61294_img_2.gif"><img width="136" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61294/problem_61294_img_3.gif">

Пусть<i>xy</i>+<i>yz</i>+<i>xz</i>= 1. Докажите равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle {\dfrac{x}{1-x^2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{y}{1-y^2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{z}{1-z^2}}$ = $\displaystyle {\dfrac{4xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}}$. </div>

Решите системы:

  a)  <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61291/problem_61291_img_2.gif"><img width="138" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61291/problem_61291_img_3.gif">

  б)  <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61291/problem_61291_img_2.gif"><img width="138" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61291/problem_61291_img_4.gif">

  в)  <img width="20" height="73" align="MIDDLE" bo...

Числа<i>x</i>,<i>y</i>и<i>z</i>удовлетворяют соотношению<i>xy</i>+<i>yz</i>+<i>xz</i>= 1. Докажите, что существуют числа$\alpha$,$\beta$,$\gamma$такие, что$\alpha$+$\beta$+$\gamma$=$\pi$и выполняются равенства<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>tg</i> $\displaystyle {\dfrac{\alpha}{2}}$,<i>y</i> = <i>tg</i> $\displaystyle {\dfrac{\beta}{2}}$, <i>z</i> = <i>tg</i> $\displaystyle {\dfrac{\gamma}{2}}$. </div>

Решите уравнение<div align="CENTER"> | 2<i>x</i> - $\displaystyle \sqrt{1-4x^2}$| = $\displaystyle \sqrt{2}$(8<i>x</i>² - 1). </div>

Сколько корней на отрезке  [0, 1]  имеет уравнение   8<i>x</i>(1 – 2<i>x</i>²)(8<i>x</i>⁴ – 8<i>x</i>² + 1) = 1?

Последовательность чисел {<i>h</i>_n} задана условиями:<div align="CENTER"> <i>h</i>₁ = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$,        <i>h</i>_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-h_n^2}}2}$    (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div> Докажите неравенство$\sum\limits_{k=1}^{\infty}$<i>h</i>_k< 1, 03.

Решите уравнения <table> <tr><td align="LEFT">а) $\sqrt{1-x^2}$ = 4<i>x</i>³ - 3<i>x</i>;    </td> <td align="LEFT"> в) $\sqrt{1-x}$ = 2<i>x</i>² - 1 + 2<i>x</i>$\sqrt{1-x^2}$;</td> </tr> </table> <table> <tr><td align="LEFT">б) <i>x</i> + ${\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}}$ = ${\dfrac{35}{12}}$;    </td> <td align="LEFT">г) $\sqrt{\dfrac{1-\vert x\vert}2}$ = 2<i>x</i>² - 1.</td> </tr> </table>

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа<i>x</i>и<i>y</i>так, чтобы выполнялось неравенство<div align="CENTER"> 0 < $\displaystyle {\frac{x-y}{1+xy}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt3}}$. </div>

Решите систему

    <i>y</i> = 2<i>x</i>² – 1,

    <i>z</i> = 2<i>y</i>² – 1,

    <i>x</i> = 2<i>z</i>² – 1.