Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Уравнения третьей степени» для 8 класса

Докажите, что   (<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² – <i>ab – bc – ac</i>)(<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² – <i>xy – yz – xz</i>) = <i>X</i>² + <i>Y</i>² + <i>Z</i>² – <i>XY – YZ – XZ</i>, если   <i>X = ax + cy + bz,   Y = cx + by + az,   Z = bx + ay + cz</i>.

Выразите через <i>a</i> и <i>b</i> действительный корень уравнения  <i>x</i>³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – 3<i>abx</i> = 0.

Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

Разложите многочлен  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ – 3<i>abc</i>  на три линейных множителя.

Какими должны быть числа <i>a</i> и <i>b</i>, чтобы выполнялось равенство  <i>x</i>³ + <i>px + q = x</i>³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – 3<i>abx</i>?

Докажите, что уравнение  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² – <i>b</i> = 0,  где <i>a</i> и <i>b</i> вещественные и  <i>b</i> > 0,  имеет один и только один положительный корень.

Решите уравнение  <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> = – ¹/₃.

Докажите, что произвольное уравнение третьей степени  <i>z</i>³ + <i>Az</i>² + <i>Bz + C</i> = 0  при помощи линейной замены переменной  <i>z = x</i> + β  можно привести к виду  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0.