Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Комплексные числа и геометрия» - сложность 3 с решениями
параграф 2. Комплексные числа и геометрия
НазадНа плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каждым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности проходят через одну точку.
Пусть <i>u</i> – точка на единичной окружности <i>z</i><img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61197/problem_61197_img_2.gif"> = 1 и <i>u</i><sub>1</sub>, <i>u</i><sub>2</sub>, <i>u</i><sub>3</sub> – основания перпендикуляров, опущенных из <i>u</i> на стороны <i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub>, <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>3</sub>, <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub> вписанного в эту окружностьтреугольника <i>a</i><...
Докажите, что cтепень точки <i>w</i> относительно окружности <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0 равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61190/problem_61190_img_2.gif">
Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.
Докажите, что уравнение <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0 при отображениях <i>w = z + u</i> и <i>w = <sup>R</sup></i>/<sub><i>z</i></sub> переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161183">161183</a>).
Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.