Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Комплексные числа и геометрия» для 2-9 класса

На плоскости даны три окружности <i>S</i>₁, <i>S</i>₂ и <i>S</i>₃. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке <i>Q</i>, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.

Точка <i>Q</i> называется <i>радикальным центром</i> окружностей <i>S</i>₁, <i>S</i>₂ и <i>S</i>₃.

Докажите, что геометрическое место точек <i>M</i>, cтепень которых относительно окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ одинакова, является прямой.

Такая прямая называется <i>радикальной осью</i> окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂.

Докажите, что в любом треугольнике точка <i>H</i> пересечения высот (ортоцентр), центр <i>O</i> описанной окружности и точка <i>M</i> пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка <i>M</i> расположена между точками <i>O</i> и <i>H</i>, и <i>MH</i> = 2<i>MO</i>.

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.