Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Квадратный трехчлен» для 1-9 класса - сложность 3-4 с решениями

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Фазовая плоскость <i>Opq</i> разбивается параболой  <i>p</i>² – 4<i>q</i> = 0  и прямыми  <i>p + q</i> + 1 = 0,  – 2<i>p + q</i> + 4 = 0  на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  на интервале  (– 2, 1).

Обозначим корни уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  через <i>x</i>₁, <i>x</i>₂. Нарисуйте на фазовой плоскости <i>Opq</i> множества точек  <i>M</i>(<i>, q</i>),  которые задаются условиями:

а)  <i>x</i>₁ = 0,  <i>x</i>₂ = 1;     б)  <i>x</i>₁ ≤ 0,  <i>x</i>₂ ≥ 2;     в)  <i>x</i>₁ = <i>x</i>₂;     г)  – 1 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 0,  1 ≤ <i>x</i>₂ ≤ 2.

Пусть α – корень уравнения  <i>x</i>² + <i>px</i> + <i>q</i> = 0,  а β – уравнения  <i>x</i>² – <i>px</i> – <i>q</i> = 0.  Докажите, что между α и β лежит корень уравнения  <i>x</i>² – 2<i>px</i> – 2<i>q</i> = 0.

Рассмотрим графики функций  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>,  которые пересекают оси координат в трёх различных точках.

Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.

Нарисуйте множество всех таких точек координатной плоскости, из которых к параболе<i>y</i>= 2<i>x</i>²можно провести две перпендикулярные друг другу касательные.

Для многочленов  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>g</i>(<i>y</i>) = <i>y</i>² + <i>py + q</i>  с корнями <i>x</i>₁, <i>x</i>₂ и <i>y</i>₁, <i>y</i>₂ соответственно, выразите через <i>a, b, p, q</i> их результант <div align="CENTER"><i>R</i>(<i>f, g</i>) = (<i>x</i>₁ – <i>y</i>₁)(<i>x</i>₁ – <i>y</i>₂)(<i>x</i>₂ –...