Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Двоичная и троичная системы счисления» - сложность 3 с решениями
параграф 3. Двоичная и троичная системы счисления
НазадПроанализируйте при помощи ним-сумм игру ``Йога''из задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160647">4.21</a>.
<b>Марсианские амебы II.</b>При помощи ним-сумм (смотри задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160914">5.76</a>) можно исследовать самые разные игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160646">4.20</a>. Постройте на множестве марсианских амеб{<i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i>} функцию<i>f</i>, для которой выполнялись бы равенства<div align="CENTER"> <i>f</i> (<i>A</i>) $\displaystyle \oplus$ <i>f</i> (<i>B</i>) = <i>f</i> (<i>C</i>), <i>f</i> (<i>A</i>) $\displaystyle \oplus$ <i>f</i> (<i>C</i>)...
<b>Игра ``Ним''.</b>Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Для анализа игры каждому набору кучек камней<i>m</i><sub>1</sub>,<i>m</i><sub>2</sub>, ...,<i>m</i><sub>l</sub>поставим в соответствие его ним сумму (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160914">5.1</a>). а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой<i>n</i>$\ne$0. б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой<i>n&...
<b>Ним-сумма.</b>Будем говорить, что число<i>n</i>является ним-суммой чисел<i>m</i>и<i>k</i>(<i>m</i>$\oplus$<i>k</i>=<i>n</i>), если оно получается из чисел<i>m</i>и<i>k</i>после следующих преобразований. 1)<i>m</i>и<i>k</i>записываются в двоичной системе счисления<div align="CENTER"> <i>m</i> = (<i>m</i><sub>s</sub>...<i>m</i><sub>1</sub><i>m</i><sub>0</sub>)<sub>2</sub>, <i>k</i> = (<i>k</i><sub>s</sub>...<i>k</i><sub>1</sub><i>k</i><sub>0</sub>)<sub>2...
<b>Задача Иосифа Флавия.</b><i>n</i>человек выстраиваются по кругу и нумеруются числами от 1 до<i>n</i>. Затем из них исключается каждый второй до тех пор, пока не останется только один человек. Например, если<i>n</i>= 10, то порядок исключения таков: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5. Для данного<i>n</i>будем обозначать через<i>J</i>(<i>n</i>) номер последнего оставшегося человека. Докажите, что а)<i>J</i>(2<i>n</i>) = 2<i>J</i>(<i>n</i>) - 1; б)<i>J</i>(2<i>n</i>+ 1) = 2<i>J</i>(<i>n</i>) + 1; в) если<i>n</i>= (1<i>b</i><sub>m - 1</sub><i>b</i>&...
<b>Ханойская башня и двоичная система счисления.</b>Рассмотрим два процесса, каждый из которых состоит из 2<sup>8</sup>- 1 шагов. Первый — это процесс решения головоломки ``Ханойская башня'' (смотри задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160315">1.42</a>) при помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 2<sup>8</sup>- 1. Опишите связь между этими двумя процессами.
<b>Множество Кантора.</b>Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3;2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество Кантора. а) Найдите сумму длин красных интервалов. б) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет. в) Из суммы<div align="CENTER"> $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{9}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{27}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{81}}$ +... </div>произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докаж...
<b>Карточный фокус.</b>а) Берется колода из 27 карт (без одной масти). Ваш друг загадывает одну из карт. После чего вы раскладываете все карты в три равные кучки, кладя каждый раз по одной карте (в первую кучку, затем во вторую, затем в третью, потом снова в первую и т. д.). Ваш друг указывает на ту кучку, в которой лежит его карта. Далее вы складываете все три кучки вместе, вставляя при этом указанную кучку между двумя другими. Эта процедура повторяется еще два раза. На каком месте в колоде окажется загаданная карта, после того, как вы сложите вместе три кучки в третий раз? б) На каком месте окажется загаданная карта, если с самого начала было 3<i>n</i>(<i>n</i>< 9) карт?
Коля Васин задумал число от 1 до 31 включительно и выбрал из 5 данных карточек<div align="CENTER"> <table cellpadding="3" border="1"> <tr><td align="CENTER">1</td> <td align="CENTER">3</td> <td align="CENTER">5</td> <td align="CENTER">7</td> </tr> <tr><td align="CENTER">9</td> <td align="CENTER">11</td> <td align="CENTER">13</td> <td align="CENTER">15</td> </tr> <tr><td align="CENTER">17</td> <td align="CENTER">19</td> <td align="CENTER">21</td> <td align="CENTER">2...