Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики» для 2-7 класса - сложность 1 с решениями
глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
НазадДокажите, что для действительного положительного α и натурального <i>d</i> всегда выполнено равенство [<sup>α</sup>/<sub><i>d</i></sub>] = [<sup>[α]</sup>/<sub><i>d</i></sub>].
Пусть α – действительное положительное число, <i>d</i> – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на <i>d</i>, равно [<sup>α</sup>/<sub><i>d</i></sub>].
Найдите все натуральные <i>n</i> > 1, для которых <i>n</i>³ – 3 делится на <i>n</i> – 1.
Верно ли, что многочлен <i>P</i>(<i>n</i>) = <i>n</i>² + <i>n</i> + 41 при всех <i>n</i> принимает только простые значения?
Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.
Докажите, что составное число <i>n</i> всегда имеет делитель, больший 1, но не больший <img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60461/problem_60461_img_2.gif">.
Найдите все простые числа <i>p</i> и <i>q</i>, для которых выполняется равенство <i>p</i>² – 2<i>q</i>² = 1.
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
На сколько нулей оканчивается число 100!?