Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Мультипликативные функции» - сложность 3-5 с решениями

Существует ли такое целое число <i>r</i>, что  <img width="41" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60559/problem_60559_img_2.gif">  является целым числом при любом <i>n</i>?

Докажите, что число  <img width="100" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60558/problem_60558_img_2.gif">  (<i>m</i>, <i>n</i> ≥ 0)  целое.

При помощи <i>формулы Лежандра</i> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160553">160553</a>) докажите, что число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60557/problem_60557_img_2.gif">   целое.

Пусть <i>p</i> – простое число и представление числа <i>n</i> в <i>p</i>-ичной системе имеет вид:   <i>n = a_kp^k + a</i>_<i>k</i>–1<i>p</i>^<i>k</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>p</i>¹ + <i>a</i>₀.

Найдите формулу, выражающую показатель α_<i>p</i>, с которым это число <i>p</i> входит в каноническое разложение <i>n</i>!, через <i>n, p</i>, и коэффициенты <i>a_k</i>.

Пусть представление числа <i>n</i> в двоичной системе выглядит следующим образом:   <i>n</i> = 2^<i>e</i>₁ + 2^<i>e</i>₂ +...+ 2<i>^e_r</i>   (<i>e</i>₁ > <i>e</i>₂ > ... > <i>e_r</i> ≥ 0).

Докажите, что <i>n</i>! делится на 2^<i>n–r</i>, но не делится на 2^{<i>n–r</i>+1}.

Докажите, что число <i>p</i> входит в разложение <i>n</i>! с показателем, не превосходящим   <img align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60554/problem_60554_img_2.gif">

Число <i>n</i>! разложено в произведение простых чисел:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60553/problem_60553_img_2.gif">   Докажите равенство   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60553/problem_60553_img_3.gif">

Найдите наименьшее число вида  <i>n</i> = 2^α<i>pq</i>,  где <i>p</i> и <i>q</i> – некоторые нечётные простые числа, для которого  σ(<i>n</i>) = 3<i>n</i>.

Может ли быть так, что   а)  σ(<i>n</i>) > 3<i>n</i>;   б)  σ(<i>n</i>) > 100<i>n</i>?

Докажите, что если <i>n</i> – чётное совершенное число, то оно имеет вид  <i>n</i> = 2^<i>k</i>–1(2^<i>k</i> – 1),  и  <i>p</i> = 2^<i>k</i> – 1  – <i>простое число Мерсенна</i>.