Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Мультипликативные функции» для 11 класса
параграф 3. Мультипликативные функции
НазадСуществует ли такое целое число <i>r</i>, что <img width="41" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60559/problem_60559_img_2.gif"> является целым числом при любом <i>n</i>?
При помощи <i>формулы Лежандра</i> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160553">160553</a>) докажите, что число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60557/problem_60557_img_2.gif"> целое.
Пусть <i>p</i> – простое число и представление числа <i>n</i> в <i>p</i>-ичной системе имеет вид: <i>n = a<sub>k</sub>p<sup>k</sup> + a</i><sub><i>k</i>–1</sub><i>p</i><sup><i>k</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>1</sub><i>p</i><sup>1</sup> + <i>a</i><sub>0</sub>.
Найдите формулу, выражающую показатель α<sub><i>p</i></sub>, с которым это число <i>p</i> входит в каноническое разложение <i>n</i>!, через <i>n, p</i>, и коэффициенты <i>a<sub>k</sub></i>.
Пусть представление числа <i>n</i> в двоичной системе выглядит следующим образом: <i>n</i> = 2<sup><i>e</i><sub>1</sub></sup> + 2<sup><i>e</i><sub>2</sub></sup> +...+ 2<i><sup>e<sub>r</sub> </sup></i> (<i>e</i><sub>1</sub> > <i>e</i><sub>2</sub> > ... > <i>e<sub>r</sub></i> ≥ 0).
Докажите, что <i>n</i>! делится на 2<sup><i>n–r</i></sup>, но не делится на 2<sup><i>n–r</i>+1</sup>.
Может ли быть так, что а) σ(<i>n</i>) > 3<i>n</i>; б) σ(<i>n</i>) > 100<i>n</i>?
Докажите, что если <i>n</i> – чётное совершенное число, то оно имеет вид <i>n</i> = 2<sup><i>k</i>–1</sup>(2<sup><i>k</i></sup> – 1), и <i>p</i> = 2<sup><i>k</i></sup> – 1 – <i>простое число Мерсенна</i>.