Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Производящие функции» для 3-8 класса - сложность 2 с решениями
параграф 3. Производящие функции
НазадПеременные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + <i>y</i><sup>2</sup> + <i>y</i><sup>3</sup> +...+ <i>y</i><sup>n</sup> +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.
Каков знак<i>n</i>-го члена в разложении произведения<div align="CENTER"> (1 - <i>a</i>)(1 - <i>b</i>)(1 - <i>c</i>)(1 - <i>d</i> )...= 1 - <i>a</i> - <i>b</i> + <i>ab</i> - <i>c</i> + <i>ac</i> + <i>bc</i> - <i>abc</i> - <i>d</i> +... </div>(<i>n</i>= 0, 1, 2,...)?
Определите коэффициент<i>a</i><sub>n</sub>в разложении<div align="CENTER"> (1 + <i>qx</i>)(1 + <i>qx</i><sup>2</sup>)(1 + <i>qx</i><sup>4</sup>)(1 + <i>qx</i><sup>8</sup>)(1 + <i>qx</i><sup>16</sup>)...= <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i><sup>2</sup> + <i>a</i><sub>3</sub><i>x</i><sup>3</sup> +... </div>
Обозначим через <i>d</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на различные слагаемые, а через <i>l</i>(<i>n</i>) – на нечётные. Докажите равенства: а) <i>d</i>(0) + <i>d</i>(1)<i>x</i> + <i>d</i>(2)<i>x</i>² + ... = (1 + <i>x</i>)(1 + <i>x</i>²)(1 + <i>x</i>³)...; б) <i>l</i>(0) + <i>l</i>(1)<i>x</i> + <i>l</i>(2)<i>x</i>² + ... = (1 – <i>x</i>)<sup>–1</sup>(1 – <i>x</i>³)<sup>–1</sup>(1 – <i>x</i><sup>5</sup>)<sup>–1</sup>...; в) <i>d</i>(<i>n</i>)...
Докажите, что каждое натуральное число <i>n</i> может быть 2<sup><i>n</i>–1</sup> – 1 различными способами представлено в виде суммы <i>меньших</i> натуральных слагаемых, если два представления, отличающихся хотя бы порядком слагаемых, считать различными.
Пусть <i>p</i>(<i>n</i>) – количество разбиений числа <i>n</i> (определение разбиений смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=16#Razbienia">здесь</a>). Докажите равенства:
<div align="center"><i>p</i>(0) + <i>p</i>(1)<i>x</i> + <i>p</i>(2)<i>x</i> '' + ... = (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)...(1 + <i>x<sup>k</sup></i> + <i>x</i><sup>2<i>k</i></sup> + ...)... = (1 – <i>x</i>)<sup>–1</sup>(1 – <i>x</i>²)<sup>–1</sup>(1 – <i>x</i>³)<sup>–1</sup>... </div> (По определению сч...
Вычислите: а) (1 +<i>x</i>)<sup>-1</sup>; б) (1 -<i>x</i>)<sup>-1</sup>; в) (1 -<i>x</i>)<sup>-2</sup>.
<b>Обращение степенного ряда.</b>Докажите, что если<i>a</i><sub>0</sub>$\ne$0, то для ряда<i>F</i>(<i>x</i>) существует ряд<i>F</i><sup>-1</sup>(<i>x</i>) =<i>b</i><sub>0</sub>+<i>b</i><sub>1</sub><i>x</i>+...+<i>b</i><sub>n</sub><i>x</i><sup>n</sup>+... такой, что<i>F</i>(<i>x</i>)<i>F</i><sup>-1</sup>(<i>x</i>) = 1.
Найдите произведения следующих формальных степенных рядов: <table> <tr><td align="LEFT">а) (1 + <i>x</i> + <i>x</i><sup>2</sup> + <i>x</i><sup>3</sup> +...)(1 - <i>x</i> + <i>x</i><sup>2</sup> - <i>x</i><sup>3</sup> +...);</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) (1 + <i>x</i> + <i>x</i><sup>2</sup> + <i>x</i><sup>3</sup> +...)<sup>2</sup>;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> в) $\left(\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right.$1 + <i>x</i> + ${\dfrac{x^2}{2!}}$ +...+ ${\dfrac{x^...