Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Рекуррентные последовательности» для 6-9 класса - сложность 3 с решениями
параграф 2. Рекуррентные последовательности
НазадКаким линейным рекуррентным соотношениям удовлетворяют последовательности a) <i>a</i><sub>n</sub>=<i>n</i><sup>2</sup>; б) <i>a</i><sub>n</sub>=<i>n</i><sup>3</sup>?
Найдите формулу<i>n</i>-го члена для последовательностей, заданных условиями (<i>n</i>$\geqslant$0): <table> <tr><td align="LEFT">a) <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 2</sub> = 4<i>a</i><sub>n + 1</sub> - 5<i>a</i><sub>n</sub>;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <i>a</i><sub>0</sub> = 1, <i>a</i><sub>1</sub> = 2, <i>a</i><sub>n + 2</sub> = 2<i>a</i><sub>n + 1</sub> - 2<i>a</i><sub>n</sub>;</td> </tr> <tr><td align...
Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?
Определим последовательности {<i>x</i><sub>n</sub>} и {<i>y</i><sub>n</sub>} при помощи условий:<div align="CENTER"> <i>x</i><sub>n</sub> = <i>x</i><sub>n - 1</sub> + 2<i>y</i><sub>n - 1</sub>sin<sup>2</sup>$\displaystyle \alpha$, <i>y</i><sub>n</sub> = <i>y</i><sub>n - 1</sub> + 2<i>x</i><sub>n - 1</sub>cos<sup>2</sup>$\displaystyle \alpha$; <i>x</i><sub>0</sub> = 0, <i>y</i><sub>0</sub> = cos$\displaystyle \alpha$. </div>Найдите выражение для<i>x</i><sub>n</sub>и<i>y</...
Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на<i>n</i>-ом году роста первоначального растения?
Найдите формулу<i>n</i>-го члена для последовательностей, заданных условиями (<i>n</i>$\geqslant$0): <table> <tr><td align="LEFT">a) <i>a</i><sub>0</sub> = 0, <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 2</sub> = 5<i>a</i><sub>n + 1</sub> - 6<i>a</i><sub>n</sub>;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> б) <i>a</i><sub>0</sub> = 1, <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 2</sub> = 3<i>a</i><sub>n + 1</sub> - 2<i>a</i><sub>n</sub>;</td> </tr> <tr><td align...