Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Различные неравенства» для 5-8 класса - сложность 2 с решениями

Докажите неравенства:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61387/problem_61387_img_2.gif">

Значения переменных считаются положительными.

Докажите <i>неравенство Чебышёва</i>   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61386/problem_61386_img_2.gif">   при условии, что   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>   и

<i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>.

Докажите, что если   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>,   <i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>,   то наибольшая из сумм вида   <i>a</i>₁<i>b</i>_<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>b</i>_<i>k</i>₂ + ... + <i>a_nb_{k_n}</i>     (<i>k</i>₁, <i>k</i><sub>2&lt...

Докажите неравенство   3(<i>a</i>₁<i>b</i>₁+<i>a</i>₂<i>b</i>₂+<i>a</i>₃<i>b</i>₃) ≥ (<i>a</i>₁+<i>a</i>₂+<i>a</i>₃)(<i>b</i>₁+<i>b</i>₂+<i>b</i>₃)  при  <i>a</i>₁≥<i>a</i>₂≥<i>a</i>₃, <i>b</i>₁≥<i>b</i>₂≥...

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   2(<i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³) ≥ <i>ab</i>(<i>a + b</i>) + <i>ac</i>(<i>a + c</i>) + <i>bc</i>(<i>b + c</i>).

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <i>a</i>²(1 + <i>b</i>⁴) + <i>b</i>²(1 + <i>a</i>⁴) ≤ (1 + <i>a</i>⁴)(1 + <i>b</i>⁴).

Докажите неравенство  (<img width="26" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61372/problem_61372_img_2.gif"> + <img width="26" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61372/problem_61372_img_3.gif">)⁸ ≥ 64<i>xy</i>(<i>x + y</i>)²   (<i>x, y</i> ≥ 0).

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + <i>z</i>² + 1 ≥ 2<i>x</i>(<i>xy</i>² – <i>x + z</i> + 1).

Докажите неравенство   (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²)  при  <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].

Докажите неравенство  (<i>a</i> + 1)(<i>b</i> + 1)(<i>a</i> + <i>c</i>)(<i>b</i> + <i>c</i>) ≥ 16<i>abc</i>  для положительных значений переменных.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <i>a</i>²<i>b</i>² + <i>b</i>²<i>c</i>² + <i>a</i>²<i>c</i>² ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).

Докажите неравенство  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61366/problem_61366_img_2.gif">  при  |<i>x|, |y</i>| < 1.

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   (<i>ab + bc + ac</i>)² ≥ 3<i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).

Докажите, что при любых <i>a, b, c</i> имеет место неравенство  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴ ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).

<i>a, b, c</i> ≥ 0.  Докажите, что  (<i>a + b</i>)(<i>a + c</i>)(<i>b + c</i>) ≥ 8<i>abc</i>.