Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Различные неравенства» для 3-9 класса - сложность 3 с решениями

Даны рациональные положительные <i>p, q</i>, причём  ¹/_<i>p</i> + ¹/_<i>q</i> = 1.  Докажите, что для положительных <i>a</i> и <i>b</i> выполняется неравенство   <i>ab ≤ ^{a^p}</i>/<i>_p + ^{b^q}</i>/_<i>q</i>.

Докажите неравенство  (1 + <i>x</i>₁)...(1 + <i>x</i>_<i>n</i>) ≥ 2^<i>n</i>,  где <i>x</i>₁...<i>x_n</i> = 1.

Значения переменных считаются положительными.

Докажите, что при  <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i> ≥ 0  выполняется неравенство   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61388/problem_61388_img_2.gif">

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   <i>a</i>³<i>b</i> + <i>b</i>³<i>c</i> + <i>c</i>³<i>a</i> ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).

Докажите неравенство  <i>x</i>^α<i>y</i>^β≤ α<i>x</i>+ β<i>y</i>  для положительных значений переменных при условии, что  α + β = 1  (α, β > 0).