Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Метод математической индукции» для 5-10 класса - сложность 3 с решениями
глава 1. Метод математической индукции
НазадДокажите неравенство <img width="99" height="47" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60310/problem_60310_img_2.gif"> ≥ <img width="95" height="32" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60310/problem_60310_img_3.gif">, где <i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> – положительные числа.
Докажите неравенство <i>n</i><sup><i>n</i>+1</sup> > (<i>n</i> + 1)<sup><i>n</i></sup> для натуральных <i>n</i> > 2.
Из чисел от 1 до 2<i>n</i> выбрано <i>n</i> + 1 число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое.
Числовая последовательность <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub></i>, ... определена равенствами <i>A</i><sub>1</sub> = 1, <i>A</i><sub>2</sub> = – 1, <i>A<sub>n</sub></i> = – <i>A</i><sub><i>n</i>–1</sub> – 2<i>A</i><sub><i>n</i>–2</sub> (<i>n</i> ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60280/problem_60280_img_2.gif"> является полным квадратом.