Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Аксиома индукции» для 8 класса
параграф 1. Аксиома индукции
НазадЧисловая последовательность <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub></i>, ... определена равенствами <i>A</i><sub>1</sub> = 1, <i>A</i><sub>2</sub> = – 1, <i>A<sub>n</sub></i> = – <i>A</i><sub><i>n</i>–1</sub> – 2<i>A</i><sub><i>n</i>–2</sub> (<i>n</i> ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60280/problem_60280_img_2.gif"> является полным квадратом.
Даны натуральные числа <i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>. Докажите, что число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60279/problem_60279_img_2.gif"> можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.
Число<i>x</i>таково, что число<i>x</i>+${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном<i>n</i>число<i>x</i><sup>n</sup>+${\frac{1}{x^n}}$также является целым.
<b>Аксиома индукции.</b>Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел. Докажите, что аксиома индукцииравносильна любому из следующих утверждений:
- всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
- всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
- если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
- если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого<i>a</i>, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чисел<i&g...
<b>Позиционная система счисления.</b>Докажите, что при<i>q</i>$\geqslant$2 каждое натуральное число<i>n</i>может быть единственным образом представлено в виде<div align="CENTER"> <i>n</i> = <i>a</i><sub>k</sub><i>q</i><sup>k</sup> + <i>a</i><sub>k - 1</sub><i>q</i><sup>k - 1</sup> +...+ <i>a</i><sub>1</sub><i>q</i> + <i>a</i><sub>0</sub>, </div>где0$\leqslant$<i>a</i><sub>0</sub>,...,<i>a</i><sub>k</sub><<i>q</i>
Докажите, что если <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа и <i>b</i> ≠ 0, то существует единственная пара чисел <i>q</i> и <i>r</i>, для которой <i>a = bq + r</i>, 0 ≤ <i>r < |b</i>|.