Аксиома индукции.Если известно, что некоторое утверждение верно для 1, и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел. Докажите, что аксиома индукцииравносильна любому из следующих утверждений:

1. всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит наименьшее число;
2. всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел содержит наибольшее число;
3. если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа;
4. если известно, что некоторое утверждение верно для некоторогоa, и из предположения, что утверждение верно для всех натуральных чиселk, таких, чтоa$\leqslant$k<nвытекает его справедливость дляn, то это утверждение верно для всех натуральных чиселk$\geqslant$a;
5. (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для некоторогоn> 1, вытекает его справедливость для 2nиn- 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.