Олимпиадные задачи из источника «Фольклор» для 6-11 класса - сложность 2-4 с решениями

Каково максимальное число попарно непараллельных отрезков с концами в вершинах правильного <i>n</i>-угольника?

Найти все такие натуральные <i>k</i>, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Докажите, что в любом графе

  а) сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер (и следовательно, чётна);

  б) число вершин нечётной степени чётно.

Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.

Например,  52 = 4³ + (−3)³ + 2³ + 2³ + (−1)³.